Corner asymptotics of the magnetic potential in the eddy-current model

In this paper, we describe the scalar magnetic potential in the vicinity of a corner ofa conducting body embedded in a dielectric medium in a bidimensional setting. We make explicitthe corner asymptotic expansion for this potential as the distance to the corner goes to zero. Thisexpansion involves singular functions and singular coefficients. We introduce a method for the calcu-lation of the singular functions near the corner and we provide two methods to compute the singularcoefficients: the method of moments and the method of quasi-dual singular functions. Estimates forthe convergence of both approximate methods are proven. We eventually illustrate the theoreticalresults with finite element computations. The specific non-standard feature of this problem lies inthe structure of its singular functions: They have the form of series whose first terms are harmonicpolynomials and further terms are genuine non-smooth functions generated by the piecewise constantzeroth order term of the operator.Key-words: Corner asymptotics, Calculus of singular functions, Magnetic potential, Eddy currentproblem hal-00779067,version1-21Jan2013 Asympotiques de coin pour le potentiel magnétique dans leproblème des courants de FoucaultRésumé : Dans cet article, nous décrivons le potentiel scalaire magnétique solution du problèmebidimensionnel des courants de Foucault au voisinage du coin d’un domaine conducteur immergé dansun milieu diélectrique. Nous explicitons l’asymptotique de coins de ce potentiel lorsque la distance aucoin tend vers zéro. Cette asymptotique nécessite le calcul des fonctions singulières et des coefficientsde singularités. Nous proposons une méthode pour calculer récursivement les fonctions singulières.La méthode quasi-duale est présentée pour le calcul approché des coefficients de singularités et desestimations d’erreur sont prouvées. Nous illustrons ces résultats théoriques par des simulations par élé-ments finis. La caractéristique principale de ce travail réside dans la structure des fonctions singulières:l’inhomogénéité de l’opérateur d’ordre 2 et le fait que son terme d’ordre 0 soit constant par morceauxentraînent que les fonctions singulières sont obtenus sous forme de séries dont chaque premier termeest un polynôme harmonique et dont les termes suivant sont des fonctions analytiques par morceauxgénérés par le terme d’ordre 0.Mots-clés : Asymptotiques de coins, Calcul de fonctions singulières, Potentiel magnétique, Problèmedes courants de Foucault hal-00779067,version1-21Jan2013 4M. Dauge, P. Dular, L. Krähenbühl, V. Péron, R. Perrussel and C. Poignard